Question

【題目】（1）如圖①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AB邊上任意一點，則CD的最小值為____．

（2）如圖②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點M、點N分別在BD、BC上，求CM+MN的最小值____．

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先利用點到直線的距離確定CD最小時點D位置，再用三角形的面積求出CD的長；

（2）先根據軸對稱確定出點M和N的位置，再利用面積求出CF，進而求出CE，最后用三角函數即可求出CM+MN的最小值．

（1）解：如圖①，過點C作CD⊥AB于D，

根據點到直線的距離垂線段最短，此時CD最小，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，根據勾股定理得，AB=5

∵

∴

（2）如圖②，作出點C關于BD的對稱點E,

過點E作EN⊥BC于N，交BD于M，連接CM，此時CM + MN= EN最��；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，CD=AB=3，

∵BC＝4，

根據勾股定理得，BD=5，
∵CE⊥BC，

∴

∴CF=

由對稱得，CE=2CF=

在Rt△BCF中，cos∠BCF=，

∴sin∠BCF=

在Rt△CEN中，EN=CE·sin∠BCF=；

即：CM+MN的最小值為：