Question

如圖，將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色菱形，這個黑色菱形可分割成n個 邊長為1的小三角形，若，則△ABC的周長是    ．

Answer 1

【答案】分析：設正△ABC的邊長為x，根據等邊三角形的高為邊長的 倍，求出正△ABC的面積，再根據菱形的性質結合圖形表示出菱形的兩對角線，然后根據菱形的面積等于兩對角線乘積的一半表示出菱形的面積，然后根據所分成的小正三角形的個數的比等于面積的比列式計算即可得解．
解答：解：設正△ABC的邊長為x，則高位x，
S_△ABC=x•x=x²，
∵所分成的三角形都是正三角形，
∴結合圖形可得黑色菱形的較長的對角線的長是x-，較短對角線的長為（x-）•=x-1，
∴黑色菱形的面積是•（x-）•（x-1）=（x-2）²，
∴==，
4x²-25x+25=0，
解得：x₁=（因為分成邊長為1的正三角形，所以此數不符合舍去），x₂=5，
∴△ABC的周長是3×5=15，
故答案為：15．
點評：本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握有一個角等于60°的菱形的兩條對角線的關系是解題的關鍵，本題難點在于根據三角形的面積與菱形的面積列出方程．