Question

△ABC中，AB=AC=4，BC邊上有n個不同點Q₁，…，Q_n，記P_i=AQ_i²+Q_iB•Q_iC，（i=1、2…n）則P₁+P₂+…+P_n的值是

1. A.
   16n
2. B.
   12n
3. C.
   8n
4. D.
   4n

Answer 1

A
分析：首先過△ABC頂點A作BC邊上的高AD，由已知得BD=CD，再由兩個直角三角形運用勾股定理推出即P₁=AQ₁²+Q₁B•Q₁C=AB²=16，同理同理：P₂=16，P₃=16，…，P_n=16，從而求解．
解答：解：過△ABC頂點A作BC邊上的高AD，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
在Rt△ADQ₁中，由勾股定理得：
AQ₁²=AD²+Q₁D²，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD²=AB²-BD²，
所以AQ₁²+Q₁B•Q₁C
=AD²+Q₁D²+Q₁B•Q₁C
=（AB²-BD²）+Q₁D²+Q₁B•Q₁C
=AB²-BD²+Q₁D²+（BD-Q₁D）（CD+Q₁D）
=AB²-BD²+Q₁D²+（BD-Q₁D）（BD+Q₁D）
=AB²-BD²+Q₁D²+BD²-Q₁D²
=AB²
=4²
=16，
即P₁=16，
同理：P₂=16，P₃=16，…，P_n=16，
所以P₁+P₂+P₃+…+P_n=16+16+16+…+16=16n，
故選：A．
點評：此題考查的知識點是勾股定理，關鍵是由已知等腰三角形作底邊的高，得兩直角三角形，運用勾股定理及等腰三角形的性質推出AQ₁²+Q₁B•Q₁C=AB²．