Question

【題目】在正方形ABCD中，點H，E，F分別在邊AB，BC，CD上，AE⊥HF于點G．

（1）如圖1，求證：AE＝HF；

（2）如圖2，延長FH，交CB的延長線于M，連接AC，交HF于N．若MB＝BE，EC＝2BE，求的值；

（3）如圖3，若AB＝2，BH＝DF，將線段HF繞點F順時針旋轉90°至線段MF，連接AM，則線段AM的最小值為　 　．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）＝2；（3）AM的最小值為．

【解析】

（1）如圖1中，作HM⊥CD于M．證明△ABE≌△HMF（ASA），即可推出AE＝HF．

（2）不妨設BE＝BM＝a，EC＝2a，則AB＝BC＝CD＝3a，CM＝4a，推出tan∠BAE＝＝，證明∠M＝∠BAE，推出tan＝，可得BH＝a，CF＝a，推出AH＝AB﹣BH＝3a﹣a＝a，再利用相似三角形的性質即可解決問題．

（3）如圖3中，延長BA到N，使得AN＝AD，作MJ⊥AN于J，交CD的延長線于K，作FQ⊥AB于Q，則四邊形BCFQ，四邊形ADKJ都是矩形，△FQH≌△FKM（AAS）．想辦法證明tan∠N＝2，推出點M的運動軌跡是射線NM，∠N是的定值，作AP⊥MN于P，根據垂線段最短可知：當AM與AP重合時，AM的值最小．

（1）證明：如圖1中，作HM⊥CD于M．

∴四邊形ABC都是正方形，

∴∠B＝∠C＝∠CMH＝90°，AB＝BC，

∴四邊形BCMH是矩形，

∴HM＝BC＝AB，

∵AE⊥HF，

∴∠AGH＝∠AHM＝90°，

∴∠BAE+∠AHG＝90°，∠AHG+∠FHM＝90°，

∴∠BAE＝∠FHM，∵∠B＝∠HMF＝90°，

∴△ABE≌△HMF（ASA），

∴AE＝HF．

（2）解：如圖2中，

∵EC＝2BE，不妨設BE＝BM＝a，EC＝2a，則AB＝BC＝CD＝3a，CM＝4a，

∴tan∠BAE＝＝，

∵ABE＝∠MGE＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠M+∠AEB＝90°，

∴∠M＝∠BAE，

∴tan＝

∴BH＝a，CF＝a，

∴AH＝AB﹣BH＝3a﹣a＝a，

∴CF∥AH，

∴△ANH∽△CNF，

∴＝＝＝2．

（3）解：如圖3中，延長BA到N，使得AN＝AD，作MJ⊥AN于J，交CD的延長線于K，作FQ⊥AB于Q，則四邊形BCFQ，四邊形ADKJ都是矩形，

∵∠QFH+∠QFM=∠KFM+∠QFM

∴∠QFH=∠KFM

∵∠FQH =∠FKM =90°，HF=MF

∴△FQH≌△FKM（AAS）．

∴QK＝KM，DF＝AQ＝BH，

∵KJ＝AD＝AB，

∴JM＝AQ+BH＝2AQ，

∵FK＝FQ＝JQ＝AD＝AN，

∴AQ＝JN，

∴JM＝2JN，

∴tan∠N＝＝2，

∴點M的運動軌跡是射線NM，∠N是的定值，作AP⊥MN于P，

根據垂線段最短可知：當AM與AP重合時，AM的值最小，

∵tan∠N＝＝2，設NP＝x，AP＝2x，

在Rt△APN中，則有22＝x2+4x2，

解得x＝（負根已經舍棄），

∴PA＝2x＝，

∴AM的最小值為．