Question

（2011•金東區模擬）如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=

m

x

的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D．已知，tan∠AOC=

1

3

，點B的坐標為（

1

2

，-6）．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）先將點B（

1

2

，-6）代入y=

m

x

，運用待定系數法求出反比例函數的解析式，再作AE⊥x軸于E，根據正切的定義有tan∠AOC=

1

3

，可設AE=x，則OE=3x，則-3x•x=-3，求出x=1，得到A點坐標為（-3，1），然后把A（-3，1），B（

1

2

，-6）代入y=ax+b，運用待定系數法即可確定一次函數的解析式；
（2）先求出直線y=-2x-5與y軸的交點D的坐標，再利用S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA進行計算即可．

解答：解：（1）∵點B（

1

2

，-6）在反比例函數y=

m

x

的圖象上，
∴m=

1

2

×（-6）=-3，
∴反比例函數的解析式為y=-

3

x

．
過A點作AE⊥x軸于E，如圖，
在Rt△OAE中，tan∠AOC=

1

3

=

AE

OE

，
設AE=x，則OE=3x，A（-3x，x），
∴-3x•x=-3，
∴x=1，
∴AE=1，OE=3，
∴A點坐標為（-3，1），
把A（-3，1），B（

1

2

，-6）代入y=ax+b，
得

-3a+b=1 1 2 a+b=-6

，
解得

a=-2 b=-5

，
∴一次函數的解析式為y=-2x-5；

（2）∵對于y=-2x-5，令x=0，則y=--5，
∴D點坐標為（0，-5），
∴S_△AOB=S_△ODB+S_△ODA=

1

2

×5×

1

2

+

1

2

×5×3=

35

4

．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，點在函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足圖象的解析式；利用待定系數法求函數的解析式；運用三角函數的定義計算線段的長度．