Question

（2012•茂名）如圖所示，拋物線y=ax²+

3

2

x+c經過原點O和A（4，2），與x軸交于點C，點M、N同時從原點O出發，點M以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運動，點N以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，當其中一個點停止運動時，另一點也隨之停止．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）在點M、N運動過程中，
①若線段MN與OA交于點G，試判斷MN與OA的位置關系，并說明理由；
②若線段MN與拋物線相交于點P，探索：是否存在某一時刻t，使得以O、P、A、C為頂點的四邊形是等腰梯形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A點坐標為（4，2），O點坐標為（0，0），代入求出二次函數解析式即可，進而利用y=0，求出圖象與x軸交點坐標，即可得出C點坐標；
（2）①過點A作AB⊥x軸于點B，則OB=4，AB=2，進而得出Rt△MON∽Rt△OBA，即可求出MN⊥OA；
②依題意可得：當點P是點A關于拋物線對稱軸的對稱點時，四邊形APOC為等腰梯形，得出P點坐標，及M（0，2t），N（t，0）設直線MN的解析式為y=kx+2t，將點N、P的坐標代入得求出t的值即可．

解答：解：（1）依題意，A點坐標為（4，2），O點坐標為（0，0），
代入解析式得

c=0 16a+ 3 2 ×4+c=2

，
解得：

c=0 a=- 1 4

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x；
令y=0，則有0=-

1

4

x²+

3

2

x，
解得x₁=0，x₂=6，
故點C坐標為（6，0）；

（2）①MN⊥OA，
理由如下：過點A作AB⊥x軸于點B，則OB=4，AB=2
由已知可得：

OM

ON

=

OB

AB

=

2

1

，
∴Rt△MON∽Rt△OBA，
∴∠AOB=∠NMO，
∵∠NMO+∠MNO=90°，∴∠AOB+∠MNO=90°，
∴∠OGN=90°，∴MN⊥OA，
②存在
設點P的坐標為（x，y），依題意可得：當點P是點A關于拋物線對稱軸的對稱點時，四邊形APOC為等腰梯形．
則點P坐標為（2，2），及M（0，2t），N（t，0）
設直線MN的解析式為y=kx+2t
將點N、P的坐標代入得

kt+2t=0 2k+2t=2

，
解得：

t1=0 k1=0

（不合題意舍去），

t2=3 k2=-2

，
所以，當t=3秒時，四邊形OPAC是等腰梯形．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及等腰梯形的性質和待定系數法求二次函數解析式、相似三角形的判定等知識，得出P點坐標表示出M，N坐標進而求出直線MN的解析式是解題關鍵．