Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，切線DE⊥AC，垂足為點E．
（1）求證△ABC是等邊三角形；
（2）若AE=1，求半圓O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：本題已知DE是圓的切線，可以得到OD⊥AB，易證△BDO是等邊三角形，進而可以證出△ABC是等邊三角形．
解答：（1）證明：連接OD；
∵DE是圓的切線，
∴OD⊥DE，
又∵DE⊥AC，
∴OD∥AC；
∵AB=AC，
∴BD=OD；
又∵OD=OB，
∴OB=OD=BD，
∴△BDO是等邊三角形，
∴∠B=60°；
∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形．

（2）解：連接CD，則
CD⊥AB，
∴BD=AD=OB，
在直角△ADE中，
∠A=60°，
∴AD=2AE=2，
∴OB=AD=2．
點評：本題主要考查了等邊三角形的證明方法，并且本題主要運用了切線的性質定理，切線垂直于過切點的半徑．