Question

（2009•中山）（1）如圖1，圓內接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，
求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的．
（2）如圖2，若∠DOE保持120°角度不變，
求證：當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要依靠輔助線的幫助．連接OA，OC，證明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S_△OAC=S_△ABC，易證S_OFCG=S_△ABC．
（2）本題有多種解法．連接OA，OB和OC，證明△AOC≌△COB≌△BOA，求出∠AOC以及∠DOE之間的關系即可．
解答：證明：（1）如圖1，連接OA，OC；
因為點O是等邊三角形ABC的外心，
所以Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S_{四邊形OFCG}=2S_△OFC=S_△OAC，
因為S_△OAC=S_△ABC，
所以S_{四邊形OFCG}=S_△ABC．

（2）證法一：
連接OA，OB和OC，則
△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2；
設OD交BC于點F，OE交AC于點G，
∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5；
在△OAG和△OCF中
，
∴△OAG≌△OCF，
∴S_△OAG=S_△OCF，
∴S_△OAG+S_△OGC=S_△OCF+S_△OGC，
即S_{四邊形OFCG}=S_△OAC=S_△ABC；

證法二：
設OD交BC于點F，OE交AC于點G；
作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分別為H、K；
在四邊形HOKC中，∠OHC=∠OKC=90°，∠C=60°，
∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°，
即∠1+∠2=120度；
又∵∠GOF=∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠3，
∵AC=BC，
∴OH=OK，
∴△OGK≌△OFH，
∴S_{四邊形OFCG}=S_{四邊形OHCK}=S_△ABC．
點評：本題涉及三角形的外接圓知識及全等三角形的判定，難度偏難．