Question

已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點，連接AC、BC、過O點作AB的垂線，交BC于E，交半圓于F，交AC的延長線于D．
（1）求證：

S△OEC

S△OCD

=

EC2

CD2

；
（2）如果OA=2，點C在弧AF上運動（不與點A，F(xiàn)重合）．設(shè)OE的長為x，△AOD的面積為y，求y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并畫出函數(shù)圖象．

Answer 1

分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB是直角，推出∠A和∠B的和為90°，再由OD與AB垂直得出∠A與∠D的和為90°，從而得出角的等量關(guān)系，即可得到△OEC∽△OCD，從而推出結(jié)論．
（2）由△OEC∽△OCD得出邊的比例關(guān)系，再由三角形的面積公式即可得出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出自變量x的取值范圍即可．

解答：（1）證明：∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∵OD⊥AB
∴∠A+∠D=90°
∴∠D=∠B=∠OCB
∵∠EOC=∠COD
∴△OEC∽△OCD
∴

SOEC

SOCD

=(

EC

CD

)2
∴

SOEC

SOCD

=

EC2

CD2

（6分）

（2）解：∵△OEC∽△OCD
∴

OC

OE

=

OD

OC

∴OC²=OE•OD
∵OC=2，OE=x
∴2²=x•OD
∴OD=

4

x

（8分）
又∵y=

1

2

×AO•OD，∴y=

1

2

×2×

4

x

，
∴y=

4

x

（9分）
∴自變量x的取值范圍是0＜x＜2（10分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二元一次函數(shù)的應用，綜合性強，難度適中．