Question

在正方形ABCD中直線MN經過點C，且AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，DG⊥MN于G
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：①△ADH≌△CBF；②DG=AE+BF；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，DG、BF、AE的關系怎樣，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用ASA，BC=AD，∠FBC=∠HDA，∠BCF=∠DAH證明△ADH≌△CBF；證明HG=AE即可求證DG=AE+BF．
（2）根據（1）中的證明可推測AE=DG+BF，繼而證明即可．
解答：證明：（1）由題意得：BC=AD，∠BFC=∠DHA=90°，
∴∠BCF=∠ABF=∠BAE=∠DAH，
∴∠FBC=∠HDA，
∴△ADH≌△CBF（ASA）；
∴BF=DH，
∵AE⊥MN，DG⊥MN，AH⊥DG，
∴四邊形AEGH為矩形，故AE=GH，
DG=DH+HG=AE+BF．

（2）DG∥BF∥AE且AE=DG+BF．
過點D作DH⊥AE于點H，
∵AD=BC，∠BCF=∠EIC=∠ADH，∠AHD=∠BFC=90°，
∴△ADH≌△BCF（ASA）．
∴AH=BF，
又四邊形DHEG為矩形，
∴HE=DG，
∴AE=AH+HE=DG+BF．得證．
點評：本題考查了旋轉和正方形的性質，及全等三角形的判定和性質，難度適中，注意準確作出輔助線是關鍵．