Question

在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當點C₁在線段CA的延長線上時，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，連接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積；
（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應點是點P₁，求線段EP₁長度的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易證得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC₁的面積；
（3）由①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最小；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，即可求得線段EP₁長度的最大值與最小值．
解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁．
∴，
∵S_△ABA1=4，
∴S_△CBC1=；

（3）①如圖1，過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，
當P在AC上運動，BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=-2；
②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+BE=2+5=7．
點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應用．此題難度較大，注意數(shù)形結合思想的應用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應關系．