Question

如圖①，將一個量角器與一張等腰三角形（△ABC）紙片放置成軸對稱圖形．∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，半圓（量角器）的圓心與點D重合，測得CE=5cm；將量角器沿DC方向平移2cm，半圓（量角器）恰與△ABC的邊AC，BC相切，如圖②．則AB的邊長為    cm．（精確到0.1cm）

Answer 1

【答案】分析：如圖，設圖②中半圓的圓心為O，與BC的切點為M，連接OM，根據切線的性質可以得到∠OMC=90°，而根據已知條件可以得到∠DCB=45°，設AB為2x，根據等腰直角三角形的性質得到CD=BD=x，而CE=5cm，又將量角器沿DC方向平移2cm，由此得到半圓的半徑為x-5，OC=x-2，然后在Rt△OCM中利用三角函數可以列出關于x的方程，解方程即可求解．
解答：解：如圖，設圖②中半圓的圓心為O，與BC的切點為M，
連接OM，
則OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依題意知道∠DCB=45°，
設AB為2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=BD=x，
而CE=5cm，又將量角器沿DC方向平移2cm，
∴半圓的半徑為x-5，OC=x-2，
∴sin∠DCB==，
∴=，
∴x=，
∴AB=2x=2×≈24.5（cm）．
故答案為：24.5．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．