Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，AC交⊙O于點E，D為AC上一點，∠AOD=∠C．
（1）求證：OD⊥AC；
（2）若AE=8，，求OD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質得出∠ABC=90°，進而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可證明；
（2）由垂徑定理可得，D為AE中點，根據已知可利用銳角三角函數求出．
解答：（1）證明：∵BC是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠AOD+∠A=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC；

（2）解：∵OD⊥AE，O為圓心，
∴D為AE中點，
∴，
又，
∴OD=3．
點評：此題主要考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識和垂徑定理的應用等知識，利用OD⊥AE，O為圓心，得出D為AE中點，再利用解直角三角形知識是解決問題的關鍵．