Question

若A（x₁，y₀），B（x₂，y₀） 是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，證明直線為此拋物線的對稱軸．
有一種方法證明如下：
①②
證明：∵A（x₁，y₀），B（x₂，y₀） 是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點
∴且 x₁≠x₂．
①-②得 a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=0．
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0．
∴
又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸為，
∴直線為此拋物線的對稱軸．
（1）反之，如果M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上不同的兩點，直線為該拋物線的對稱軸，那么自變量取x₁，x₂時函數(shù)值相等嗎？寫出你的猜想，并參考上述方法寫出證明過程；
（2）利用以上結論解答下面問題：
已知二次函數(shù)y=x²+bx-1當x=4時的函數(shù)值與x=2007時的函數(shù)值相等，求x=2012時的函數(shù)值．

Answer 1

解：（1）結論：自變量取x₁，x₂時函數(shù)值相等．
證明：∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為拋物線y=ax²+bx+c上不同的兩點，
由題意得且x₁≠x₂
①-②，得y₁-y₂=a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]．
∵直線是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸，
∴．
∴．
∴y₁-y₂=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，即y₁=y₂；

（2）∵二次函數(shù)y=x²+bx-1當x=4時的函數(shù)值與x=2007時的函數(shù)值相等，
∴由閱讀材料可知二次函數(shù)y=x²+bx-1的對稱軸為直線．
∴，b=-2011．
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-2011x-1．
∵，
由（1）知，當x=2012的函數(shù)值與x=-1時的函數(shù)值相等．
∵當x=-1時的函數(shù)值為（-1）²-2011×（-1）-1=2011，
∴當x=2012時的函數(shù)值為2011．
分析：（1）由題意得出且x₁≠x₂，再由直線的對稱軸得出結論：自變量取x₁，x₂時函數(shù)值相等．
（2）由題意求得b，得出二次函數(shù)的解析式為y=x²-2011x-1．再由（1）得，當x=2012時的函數(shù)值為2011．
點評：本題是一道閱讀題，考查了二次函數(shù)的性質和圖象上點的特點，綜合性較強，難度較大．