Question

一個紙質的正方形“仙人掌”，假設“仙人掌”在不斷地生長，新長的葉子是“缺角的正方形”，這些“正方形”的中心在先前正方形的角上，它們的邊長是先前正方形的一半（如圖）．若第1個正方形的邊長是1，則生長到第4次后，所得圖形的面積是

109

64

．

Answer 1

分析：解答本題只需求出第二次和第三次以及第四次所得正方形的邊長進而求出其面積和原正方形的面積相加即可．

解答：解：由于第一個正方形的邊長為1，則第二、第三、第四個正方形的邊長為

1

2

、

1

4

、

1

8

，
∴第二次新生成圖形的面積為：

1

2

×

1

2

×

3

4

×2=

3

8

，
第三次新生成圖形的面積為：

1

4

×

1

4

×

3

4

×4=

3

16

，
∵由題可得生長到第4次所得缺角正方形的邊長為：

1

8

，
又∵缺角三角形的中心在先前正方形的角上，
∴它少了

1

4

的面積，即剩

3

4

，
所以一個缺角三角形的面積是 (

1

8

)2×

3

4

=

3

256

，
總共的面積=

3

256

×8=

3

32

，
則生長到第4次后，所得圖形的面積是=1+

3

8

+

3

16

+

3

32

=1

23

32

．
故答案為：

109

64

．

點評：此題考查了圖形的變化．通過計算找出圖形變化的規律，利用規律推出正方形的面積是解題的關鍵．