Question

【題目】如圖①，先把一矩形ABCD紙片上下對折，設折痕為MN；如圖②，再把點B疊在折痕線MN上，得到Rt△ABE．過B點作PQ⊥MN，分別交EC、AD于點P、Q．

（1）求證：△PBE∽△QAB；

（2）在圖②中，如果沿直線EB再次折疊紙片，點A能否疊在直線EC上？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若AB=3，求AE的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）沿直線EB再次折疊紙片，點A能疊在直線EC上；（3）2

【解析】

試題分析：（1）由題意可以得到∠BPE=∠AQB=90°，通過角的轉化可以得到∠BEP=∠ABQ，從而可以得到△PBE∽△QAB；

（2）根據折疊的知識可以得到QB=PB，由第（1）問中的相似可以得到對應邊成比例，通過轉化可以得到△PBE∽△BAE，從而可以解答本題；

（3）由題意和第（2）問可以得到∠AEB=∠BEP=60°，∠ABE=90°，又因為AB=3，sin∠AEB=，從而可以得到AE的長度．

（1）證明：∵PQ⊥MN，BN∥EC∥AD，

∴∠BPE=∠AQB=∠PBN=∠NBQ=90°，

∴∠PBE+∠BEP=90°，

又∵∠PBE+∠ABQ=180°﹣∠ABE=180°﹣90°=90°，

∴∠BEP=∠ABQ，

在△PBE∽△QAB中

∴△PBE∽△QAB；

（2）點A能疊在直線EC上，

理由：∵△PBE∽△QAB，

∴，

∵由折疊可知，QB=PB，

∴，即，

又∵∠ABE=∠BPE=90°，

∴△PBE∽△BAE，

∴∠AEB=∠PEB，

∴沿直線EB再次折疊紙片，點A能疊在直線EC上；

（3）解：由（2）可知，∠AEB=∠PEB，

而由折疊過程知：2∠AEB+∠PEB=180°，

∴∠AEB=∠PEB=60°，

在Rt△ABE中，sin∠AEB=，

∴AE=．