Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；
（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠2=∠5，∠4=∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1=∠5，∠3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴EO=CO，FO=CO，

∴OE=OF

（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，

∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，

∵CE=12，CF=5，

∴EF= =13，

∴OC= EF=6.5

（3）解：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

證明：當O為AC的中點時，AO=CO，

∵EO=FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．

【解析】（1）根據角平分線的定義得到角相等，再由平行線的性質得到內錯角相等，由等角對等邊得到EO=CO，FO=CO，即OE=OF；（2）由互為鄰補角的平分線互相垂直得到∠2+∠4=∠5+∠6=90°，根據勾股定理得到EF=13，求出OC的值；（3）根據矩形的判定方法可知，當O為AC的中點時得到四邊形AECF是平行四邊形，再由有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可.