Question

如圖，平面直角坐標系中，拋物線y=

1

2

x²-2x+3交y軸于點A．P為拋物線上一點，且與點A不重合．連接AP，以AO、AP為鄰邊作平行四邊形OAPQ，PQ所在直線與x軸交于點B．設點P的橫坐標為m．
（1）點Q落在x軸上時m的值．
（2）若點Q在x軸下方，則m為何值時，線段BQ的長取最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）利用點Q落在x軸上時，PQ=3，得出

1

2

m²-2m+3=3，求出m的值即可；
（2）利用QB=QP-BP=3-（

1

2

m²-2m+3），利用m的取值范圍，得出m的最值即可．

解答：解：（1）拋物線y=

1

2

x²-2x+3與y軸交于點A，
∴點A的坐標為（0，3）．
∴OA=3．
∵四邊形OAPQ為平行四邊形，
∴QP=OA=3．
∴當點Q落在x軸上時，

1

2

m²-2m+3=3，
解得：m₁=0，m₂=4．
當m=0，點P與點A重合，不符合題意，舍去．
∴m=4．

（2）解法一：∵點P的橫坐標為m，
∴BP=

1

2

m²-2m+3．
∴QB=QP-BP=3-（

1

2

m²-2m+3），
=-

1

2

m²+2m，
=-

1

2

（m-2）²+2，
∵點Q在x軸下方，
∴0＜m＜4．
∴m=2時，線段QB的長取最大值，最大值為2．

解法二：∵QP=3，QB=3-BP，
∴線段BP的長取最小值時，線段QB的長取最大值．
當點P為拋物線的頂點時，線段BP的長取最小值．
當x=-

b

2a

=2時，y=

4ac-b2

4a

=

4× 1 2 ×3-4

4× 1 2

=1．
∴線段BP的長最小值為1．
∴m=2時，線段QB的長取最大值，最大值為3-1=2．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及平行四邊形的判定與性質，根據已知得出關于m的函數關系式是解題關鍵．