Question

【題目】如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C，E在⊙O上，，CD⊥AB，垂足為點D，連接BE，弦BE與線段CD相交于點F．

（1）求證：CF＝BF；

（2）若cos∠ABE，在AB的延長線上取一點M，使BM＝4，⊙O的半徑為6．求證：直線CM是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

(1)延長CD交⊙O于G，如圖，利用垂徑定理得到，則可證明，然后根據圓周角定理得∠CBE＝∠GCB，從而得到CF＝BF ；

(2)連接OC交BE于H，如圖，先利用垂徑定理得到OC⊥BE ，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH，OH，接著證明△OHB∽△OCM得到∠OCM＝∠OHB＝90°，然后根據切線的判定定理得到結論．

(1)延長CD交⊙O于G，如圖，

∵CD⊥AB，∴，

，∴，

∴∠CBE＝∠GCB，

∴CF＝BF；

(2)連接OC交BE于H，如圖，

∵，∴OC⊥BE，

在Rt△OBH中，cos∠OBH，

∴BH，

∴OH

，

∴，而∠HOB＝∠COM，

∴△OHB∽△OCM，

∴∠OCM＝∠OHB＝90°，

∴OC⊥CM，

∴直線CM是⊙O的切線．