Question

（2007•資陽）如圖，已知點A（-4，2）、B（ n，-4）是一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數圖象的兩個交點：
（1）求點B的坐標和一次函數的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據圖象寫出使一次函數的值小于反比例函數值的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A和B都在反比例函數圖象上，故把兩點坐標代入到反比例解析式中，列出關于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，確定出A的坐標及反比例函數解析式，把確定出的A坐標及B的坐標代入到一次函數解析式中，得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出一次函數解析式；
（2）令一次函數解析式中x為0，求出此時y的值，即可得到一次函數與y軸交點C的坐標，得到OC的長，三角形AOB的面積分為三角形AOC及三角形BOC面積之和，且這兩三角形底都為OC，高分別為A和B的橫坐標的絕對值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；
（3）根據圖象和交點坐標即可得出結果．
解答：解：（1）∵m=-8，
∴n=2，
則y=kx+b過A（-4，2），B（n，-4）兩點，
∴
解得k=-1，b=-2．
故B（2，-4），一次函數的解析式為y=-x-2；

（2）由（1）得一次函數y=-x-2，
令x=0，解得y=-2，
∴一次函數與y軸交點為C（0，-2），
∴OC=2，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC
=OC•|y_{點A橫坐標}|+OC•|y_{點B橫坐標}|
=×2×4+×2×2=6．
S_△AOB=6；

（3）一次函數的值小于反比例函數值的x的取值范圍：-4＜x＜0或x＞2．
點評：此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，涉及的知識有利用待定系數法求函數解析式，兩函數交點坐標的意義，一次函數與坐標軸交點的求法，以及三角形的面積公式，利用了數形結合的思想．第一問利用的方法為待定系數法，即根據題意把兩交點坐標分別代入兩函數解析式中，得到方程組，求出方程組的解確定出函數解析式中的字母常數，從而確定出函數解析式，第二問要求學生借助圖形，找出點坐標與三角形邊長及邊上高的關系，進而把所求三角形分為兩三角形來求面積．