Question

如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（圖1）．△ABD不動，

（1）若將△ACE繞點A逆時針旋轉，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖2），證明：MB=MC．
（2）若將圖1中的CE向上平移，∠CAE不變，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數量關系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖4），其他條件不變，則（2）中的MB、MC的數量關系還成立嗎？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AM，根據全等三角形的對應邊相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形對應角相等可得∠BAD=∠CAE，再根據等腰三角形三線合一的性質得到∠MAD=∠MAE，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△ACM全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）延長DB、AE相交于E′，延長EC交AD于F，根據等腰三角形三線合一的性質得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根據兩直線平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根據等角對等邊即可得證；
（3）延長BM交CE于F，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角邊”證明△MDB和△MEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得MB=MF，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可．
解答：證明：（1）如圖2，連接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
即∠BAM=∠CAM，
在△ABM和△ACM中，，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC；

（2）MB=MC．
理由如下：如圖3，延長DB、AE相交于E′，延長EC交AD于F，
∴BD=BE′，CE=CF，
∵M是ED的中點，B是DE′的中點，
∴MB∥AE′，
∴∠MBC=∠CAE，
同理：MC∥AD，
∴∠BCM=∠BAD，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠MBC=∠BCM，
∴MB=MC；

（3）MB=MC還成立．
如圖4，延長BM交CE于F，
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，
又∵M是DE的中點，
∴MD=ME，
在△MDB和△MEF中，，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF，
∵∠ACE=90°，
∴∠BCF=90°，
∴MB=MC．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，等角對等邊的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，以及三角形的中位線定理，綜合性較強，但難度不大，作輔助線構造出等腰三角形或全等三角形是解題的關鍵．