Question

2008年年初，為了迎接在北京舉行的奧運會，北京某文化生產企業特生產一批具有中國傳統文化特色的“奧運衫”，每件產品的成本價20元，試銷階段產品的日銷量y（件）與每件產品的銷售價x（元）之間的關系如下表：

x（元）	25	30	35	40
y（件）	200	150	100	50

（1）若規定此“奧運衫”的利潤不能超過100%，請你從所學過的函數中確定哪種函數能表示y與x的變化規律，求出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（2）要使日銷售利潤w（元）最大，每件產品的銷售價x（元）應定為多少？此時每日銷售利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）一次函數關系式的特點是自變量x等額增大時，函數y也隨之等額地增大或者減少，可以判斷本題是一次函數關系式，用“兩點法”求解；
（2）由日銷售利潤w=（銷售單價-成本單價）×日銷量y，列出函數關系式，并運用關系式求最大值．
解答：解：（1）根據圖中數據變化趨勢知y是x的一次函數（或通過描點，連線觀察得到）
設y=kx+b，選取兩點（25，200），（30，150）代入得，
25k+b=200
30k+b=150
解得k=-10，b=450
又每件利潤不能超過100%，故x≤40
∴y=-10x+450（20≤x≤40）

（2）由題意知w=（20-x）y=（20-x）（-10x+450）
=-10x²+650 x-9000（8分）
=-10x（x-）²+1562.5
∴當銷售價定為32.5元時，日銷售利潤最大，最大利潤為1562.5元．
點評：本題考查了一次函數的判斷及求法，列二次函數并進行實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．