Question

【題目】如圖：在平面直角坐標系中，點A在X軸的正半軸，OA=8 ,點B在第一象限，∠AOB=60°，AB⊥OB垂足為B, 點D、C分別在邊OB、OA上，且OD=AC=t,以OD、OC為邊作平行四邊形OCED,DE交直線AB為F,CE交直線AB為點G.

(1) 當t=2時， 則E的坐標為　 　

(2) 若ΔDFC的面積為，求t的值。

(3) 當D、 B 、G、 E四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，在Y軸上存在點M,過點M作FC的平行線交直線OB為點N，若以M、 N、 F、 C為頂點的四邊形也是平行四邊形，則點M的坐標為 　 （直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）(7，)；（2）；（3）（0，），（0，）.

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質以及勾股定理計算即可；

（2）根據三角形的面積公式，用含t的代數式分別表示出三角形的底和高，列出方程即可；

（3）先根據四邊形BDGE是平行四邊形計算出t的值；再根據四邊形MNCF是平行四邊形算出點M的坐標即可．

（1）過點D作DQ⊥OA于點Q，則∠ DQO=90°

當t=2時，OD=AC=2

則OC=OA-AC=8-2=6

在平行四邊形OCED中，DE=OC=6

在Rt△OQD中，∠AOB=60°，∠ DQO=90°，

∴，

∴點E的橫坐標為：1+6=7，縱坐標為：

故點E的坐標為：（7，）

（2）在平行四邊形OCED中，CE=OD=t，且OD∥CE，OC∥DE

∵AB⊥OB

∴∠ ABO=90°

又∵OD∥CE

∴∠ AGC=90°，∠ACG=∠AOB=60°，

在Rt△ACG中，∠ACG =60°，∠AGC =90°，

∴，

∴

∴CG=EG

∵OC∥DE

∴∠ACG=∠FEG

在△ACG和△FEG中，

∴△ACG≌△FEG

∴EF=AC=t

∴

由（1）知，，則

∴

又∵ΔDFC的面積為

∴

解得：，

（3）當點M在y軸正半軸上時；

在Rt△AOB中，∠AOB =60°，∠ABO =90°，

∴，

∴

∵四邊形BDGE是平行四邊形

∴

∴

由（2）知

∴

解得：

∴

∵OC∥DE，DQ⊥OC，FP⊥OC

∴

若四邊形MNCF是平行四邊形，

則有MN=CF

有題設條件易得，△CPF≌△NHM

∴，

在Rt△OHN中，∠OHN =90°，∠HON =90°-60°=30°，

∴，

∴

∴點M的坐標為（0，）

當點M在y軸負半軸上時；同理可得點M的坐標為（0，）

綜上所述：點M的坐標為（0，）或（0，）