Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A(1，1)，且與直線交于B，C兩點．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）求△ABC的面積；

（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在滿足條件的N點，其坐標為(，0)或(，0)或(﹣1，0)或(5，0)

【解析】

（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；

（2）設直線AC的解析式為y＝kx＋b，與x軸交于D，得到y＝2x1，求得BD于是得到結論；

（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得或，可求得N點的坐標．

（1）∵頂點坐標為（1，1），

∴設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，又拋物線過原點，

∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，

即y=﹣x2+2x，聯立拋物線和直線解析式可得，

解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，與x軸交于D，

把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐標代入得，

解得：，

∴y=2x﹣1，當y=0，即2x﹣1=0，解得：x=，∴D（，0），

∴BD=2﹣=，

∴△ABC的面積=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3；

（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），

∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3，

∵MN⊥x軸于點N，∴∠ABC=∠MNO=90°，

∴當△ABC和△MNO相似時，有或，

①當時，∴，即|x||﹣x+2|=|x|，

∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此時N點坐標為（，0）或（，0）；

②當或時，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，

此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．