Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．動點P從點B出發，沿射線BC的方向以每秒3個單位長的速度運動，動點Q從點D出發，在線段DA上以每秒1個單位長的速度向點A運動，點P、Q分別從點B、D同時出發，當點Q運動到點A時，點P隨之停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，P、Q兩點之間的距離是13？
（2）當t為何值時，以P、Q、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形？
（3）是否存在某一時刻t，使直線PQ恰好把直角梯形ABCD的周長和面積同時等分？如存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）結合勾股定理得出直角三角形的三邊長，進而分類討論得出符合題意的t的值；
（2）利用當PD=CQ時，Q沒有運動到C點時，當PD=CQ時，Q運動到C點后再向B點運動時，分別得出等式求出即可；
（3）分別求出當PQ平分梯形面積以及平分梯形周長時的時間，進而得出答案．

解答：解：（1）如圖1，過點Q作QE⊥BC于點E，
∵AB=12，當P、Q兩點之間的距離是13時，
∴PE=5，
即DQ=t，AQ=16-t，PE=5，PB=3t，
∴PB-AQ=3t-（16-t）=5，
解得：t=

21

4

，
如圖2，過點Q作QF⊥BC于點F，
∵AB=12，當P、Q兩點之間的距離是13時，
∴PF=5，
即DQ=t，AQ=16-t，PF=5，PB=3t，
∴PB+PF=AQ=16-t=3t+5，
解得：t=

11

4

；
綜上所述：當t為

21

4

或

11

4

時，P、Q兩點之間的距離是13；

（2）如圖3，當PD=CQ時，Q沒有運動到C點時，
由題意可得出：PD=t，CQ=21-3t，
∴t=21-3t，
解得：t=

21

4

，
如圖4，當PD=CQ時，Q運動到C點后再向B點運動時，
由題意可得出：PD=t，CQ=3t-21，
∴t=3t-21，
解得：t=

21

2

，
綜上所述：當t=

21

4

或

21

2

時，以P、Q、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形；

（3）不存在，
理由：∵直角梯形的面積為：

1

2

×12×（21+16）=222，
∴當梯形APQB面積為111時，直線PQ恰好把直角梯形ABCD的面積等分，
即

1

2

×AB×（AP+QB）=111，
∴

1

2

×12×（16-t+3t）=111，
解得：t=

5

4

，
如圖5，過點D作DW⊥BC于點W，
∵AB=12，BC=21，AD=16，
∴CW=5，CD=13，
∵直角梯形的周長為：13+16+12+21=62，
當梯形APQB的周長為31時，直線PQ恰好把直角梯形ABCD的周長等分，
∴CD+QD+PC=31，
即t+13+21-3t=31，
解得：t=

3

2

，
∴不存在某一時刻t，使直線PQ恰好把直角梯形ABCD的周長和面積同時等分．

點評：此題主要考查了四邊形綜合以及勾股定理和平行四邊形的判定等知識，利用分類討論的思想得出是解題關鍵．