Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，⊙D與坐標(biāo)軸分別相交于A（-，0）、C（0，3）及B、F四點(diǎn)．
（1）求⊙D的半徑．
（2）E為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B，C三點(diǎn)重合），M為半徑DE的中點(diǎn)，連接M0，若∠MOD=α°，弧CE的長(zhǎng)為y，求y與α之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)N連接MN，當(dāng)∠ENM=15°時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷以DE為直徑的⊙M與直線DN的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，設(shè)AD=r，則OD=OC-CD=OC-AD=3-r，在直角三角形ADO中利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值即可；
（2）連接DE，EF，OM，由（1）可知圓的半徑為2，所以DF=2，因?yàn)镺D=OC-CD=3-2=1，所以O(shè)D=OF，因?yàn)镸為半徑DE的中點(diǎn)，所以O(shè)M是△DEF的中位線，OM∥EF，由平行線的性質(zhì)和圓周角定理以及弧長(zhǎng)公式即可求出弧CE的長(zhǎng)即y與α之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)D作DH⊥EN于H點(diǎn)，則HN=OD=1，延長(zhǎng)NM交y軸于點(diǎn)P，連接OM，在Rt△DHE中，DE=2，DH=1，EH=，ON=DH=1，EN=1+，所以E（1，1+），根據(jù)軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)E在第二象限的對(duì)稱點(diǎn)（-1，+1），故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，+1）或（-1，+1）．
解答：解：（1）連接AD（如圖1），設(shè)AD=r，
∵A（-，0）、C（0，3）
∴AO=，OC=3，
∴OD=OC-CD=OC-AD=3-r，
在Rt△AOD中，AD²=OD²+AO²，
∴r²=（3-r）²+²，
解得：r=2，
∴⊙D的半徑是2；

（2）連接DE，EF，OM（如圖2），
由（1）可知圓的半徑為2，∴DF=2，
∵OD=OC-CD=3-2=1，
∴OD=OF，
∵M(jìn)為半徑DE的中點(diǎn)，
∴OM是△DEF的中位線，
∴OM∥EF，
∴∠MOD=∠DFE=∠EDC，
∵∠MOD=α°，
∴弧CE的長(zhǎng)為y===；

（3）過(guò)D作DH⊥EN于H點(diǎn)，則HN=OD=1，延長(zhǎng)NM交y軸于點(diǎn)P，連接OM（如圖3），
易證△ENM≌△DPM，
∵M(jìn)P=NM，∠PON=90°，OM=MP，
∴∠MOP=∠MPO，
∴∠OMN=2∠OPM，
∵OD=DM，
∴∠DOM=∠DMO，
∴∠DMN=∠POM+2∠OPM=3∠OPM，
∴∠DMN=3∠MNE，∠DMN=45°，
∵∠MNE=15°，
∴∠E=30°
在Rt△DHE中，DE=2，DH=1，EH=，ON=DH=1，EN=1+，
∴E（1，1+），
根據(jù)軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)E在第二象限的對(duì)稱點(diǎn)（-1，+1），
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，+1）或（-1，+1）．
以DE為直徑的⊙M與直線DN的位置關(guān)系是：相交．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、圓周角定理以及圓的軸對(duì)稱的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高．