Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點．
（1）寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系（不要求證明）
（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，在移動過程中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直角三角形斜邊上中線性質推出即可；
（2）根據等腰三角形性質求出∠B=∠C=45°=∠BOA=∠CAO，根據SAS證△BOM≌△AON，推出OM=ON，∠AON=∠BOM，求出∠MON=90°，根據等腰直角三角形的判定推出即可．
解答：解：（1）點O到△ABC的三個頂點A、B、C的距離的關系是OA=OB=OC；

（2）△OMN的形狀是等腰直角三角形，
證明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC中點，
∴OA=OB=OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，∠B=∠C=45°，∠BAO=∠CAO=45°，
∴∠CAO=∠B，
在△BOM和△AON中
∵，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴OM=ON，∠AON=∠BOM，
∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，等腰直角三角形性質等知識點的應用，題目比較好，主要考查了學生運用定理進行推理的能力．