Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋4經過點A(－1，0)，B(4，0)，與y軸交于點C，直線y＝x＋2交y軸于點D，交拋物線于E，F兩點，點P為線段EF上一個動點(與E，F不重合)，PQ∥y軸與拋物線交于點Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當P在什么位置時，四邊形PDCQ為平行四邊形？求出此時點P的坐標；

(3)是否存在點P使△POB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋3x＋4；(2)P點坐標為(2，4)；(3) P點坐標為(2，4)或(－1＋，1＋)．

【解析】

（1）把A與B的坐標代入拋物線的解析式中，得到關于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解集即可得到a與b的值，然后把a與b的值代入拋物線的解析式即可確定出拋物線的解析式；
（2）因為PQ與y軸平行，要使四邊形PDCQ為平行四邊形，即要保證PQ等于CD，所以令x=0，求出拋物線解析式中的y即為D的縱坐標，又根據拋物線的解析式求出C的坐標，即可求出CD的長，設出P點的橫坐標為m即為Q的橫坐標，表示出PQ的長，令其等于2列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，判斷符合題意的m的值，即可求出P的坐標；
（3）存在．分兩種情況考慮：當OB作底時，求出線段OB垂直平分線與直線EF的交點即為P的位置，求出此時P的坐標即可；當OB作為腰時，得到OB等于OP，根據等腰三角形的性質及OB的長，利用勾股定理及相似的知識即可求出此時P的坐標．

(1)根據題意，得

解得

∴所求拋物線的解析式為y＝－x2＋3x＋4；

(2)∵PQ∥y軸，∴當PQ＝CD時，四邊形PDCQ是平行四邊形，

∵當x＝0時，y＝－x2＋3x＋4＝4，y＝x＋2＝2，

∴C(0，4)，D(0，2)，

設點P的橫坐標為m，∴PQ＝(－m2＋3m＋4)－(m＋2)＝2，解得m1＝0，m2＝2.

當m＝0時，點P與點D重合，不能構成平行四邊形，

∴m＝2，m＋2＝4，∴P點坐標為(2，4)；

(3)存在，P點坐標為(2，4)或(－1＋，1＋)．