Question

23、如圖甲，直線PA交⊙O于A、E兩點，PA的垂線CD切⊙O于點C，過點A作⊙O的直徑AB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖乙，將直線CD向下平行移動，得到CD與⊙O相切于C，AC還平分∠DAB嗎？說明理由；
（3）在將直線CD向下平行移動的過程中，如圖丙、丁，試指出與∠DAC相等的角（不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）可連接OC，那么OC⊥CD，可根據同角的余角相等來證得；
（2）和（1）思路一樣，也是連接OC，通過OD∥AD，根據內錯角相等，將相等的角進行轉換證得；
（3）丙圖，可連接BC，根據AB是直徑，那么∠ACB=90°，然后根據∠ADC=90°，根據同角的余角相等，我們可得出∠DAC=∠BCF，又因為∠BCF和∠BAF同對一段弧，所以∠DAC=∠BAF．丁圖，可連接BC、BF，直角三角形DAF中，∠DAC+∠CAF+∠CFA=90°，直角三角形BFA中∠ABC+∠CBF+∠BAF=90°，運用圓周角定理將行動的角進行替換后即可得出∠DAC=∠BAF．

解答：解：（1）證明：連接OC，
∵OA、OC是⊙O的半徑，
∴OA=OC，得∠OAC=∠OCA．
∵CD切⊙O于點C，
∴CD⊥OC．
又∵CD⊥PA，
∴OC∥PA，于是得∠PAC=∠OCA．
故∠OAC=∠PAC，表明AC平分∠DAB；

（2）AC平分∠DAB，連接OC，
∵CD切⊙O于C，
∴CD⊥OC．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，于是得∠COB=∠DAB．
而OA=OC，所以∠CAO=∠ACO．
因此∠DAC=∠ACO=∠CAO，表明AC平分∠DAB；

（3）∠DAC=∠BAF，
證明：（丁圖），可連接BC、BF，
直角三角形DAF中，∠DAC+∠CAF+∠CFA=90°，
直角三角形BFA中∠ABC+∠CBF+∠BAF=90°，
又因為∠CFA=∠ABC，∠CAF=∠CBF，
所以∠DAC=∠BAF．

點評：本題主要考查了圓周角定理，切線的性質等知識點．運用好圓周角定理是本題的關鍵．