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如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,DC=2,點P在邊BC上運動(與B、C不重合),設PC=x.若以D為圓心、為半徑作⊙D,以P為圓心、x為半徑作⊙P,則當x=    時,⊙D與⊙P相切.
【答案】分析:分兩種情況考慮,當圓P與圓D外切時,如圖所示,過D作DE垂直于BC,可得出四邊形ABED為矩形,根據矩形的對邊相等可得出AB=DE=2,在直角三角形DEC中,由DC及ED的長,利用勾股定理求出EC的長,再由EC-PC表示出EP,又圓D與圓P外切,圓心距等于兩半徑相加,由兩圓的半徑相加表示出DP,在直角三角形DEP中,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值;當圓P與圓D內切時,如圖所示,過D作DE垂直于BC,可得出四邊形ABED為矩形,根據矩形的對邊相等可得出AB=DE=2,在直角三角形DEC中,由DC及ED的長,利用勾股定理求出EC的長,再由EC-PC表示出EP,又圓D與圓P外切,圓心距等于兩半徑相減,由兩圓的半徑相減表示出DP,在直角三角形DEP中,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,綜上,得到所有滿足題意的x的值.
解答:解:當圓P與圓D外切時,如圖所示:

過D作DE⊥BC,交BC于點E,可得∠DEP=90°,
∵直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠A=∠B=90°,
∴四邊形ABED為矩形,又AD=1,AB=2,
∴AB=DE=2,AD=BE=1,
在Rt△CED中,DC=2,DE=2,
根據勾股定理得:EC==2,
∴EP=EC-PC=2-x,
∵圓D與圓P外切,圓D半徑為,圓P半徑為x,
∴DP=+x,
在Rt△DEP中,根據勾股定理得:DP2=DE2+EP2
即(+x)2=22+(2-x)2
解得:x=
當圓P與圓D內切時,如圖所示:

過D作DE⊥BC,交BC于點E,可得∠DEP=90°,
∵直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠A=∠B=90°,
∴四邊形ABED為矩形,又AD=1,AB=2,
∴AB=DE=2,AD=BE=1,
在Rt△CED中,DC=2,DE=2,
根據勾股定理得:EC==2,
∴EP=EC-PC=2-x,
∵圓D與圓P內切,圓D半徑為,圓P半徑為x,
∴DP=x-
在Rt△DEP中,根據勾股定理得:DP2=DE2+EP2
即(x-2=22+(2-x)2
解得:x=
綜上,當x=時,圓D與圓P相切.
故答案為:
點評:此題考查了相切兩圓的性質,矩形的判定與性質,勾股定理,利用了分類討論的數學思想,熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵,同時本題x的值有兩解,注意不要漏解.
練習冊系列答案
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20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點.將直角梯形ABCD沿對角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結果精確到0.1cm)

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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動,E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動,設運動時間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長;
(3)設四邊形AFEC的面積為y,求y關于t的函數關系式,并求出y的最小值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點F,交CD于點G、H.過點F引⊙O的切線交BC于點N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點E、F分別是腰AD、BC上的動點,點G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設FG=x,矩形AEFG的面積為y.
(1)求y與x之間的函數關式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時BF的長;
(3)當∠ABC=60°時,矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長;若不能,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,動點P、Q分別從點A、C同時出發,點P以2cm/s的速度向點B移動,點Q以1cm/s的速度向點D移動,當一個動點到達終點時另一個動點也隨之停止運動.
(1)經過幾秒鐘,點P、Q之間的距離為5cm?
(2)連接PD,是否存在某一時刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此時的移動時間;若不存在,請說明理由.

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