Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA=2cm，∠AOB=120°．
（1）求tan∠OAB的值；
（2）計算S_△AOB；
（3）⊙O上一動點P從A點出發，沿逆時針方向運動，當S_△POA=S_△AOB時，求P點所經過的弧長．（不考慮點P與點B重合的情形）

Answer 1

【答案】分析：（1）作OC⊥AB，解直角三角形即可；或利用特殊角的三角函數值計算也可．
（2）先求出三角形的底，高在（1）題中已知．利用面積公式即可計算．
（3）根據弧長公式計算即可．
解答：解：（1）作OC⊥AB．
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°．
∴OC=1，AC=．
∴tan∠OAB=．                   （4分）

（2）AC=，∴AB=2．
∴S_△AOB=2×1÷2=（cm²）．     （8分）

（3）如圖，延長BO交⊙O于點P₁，
∵點O是直徑BP₁的中點，
S_△AP1O=AD×P₁O，
S_△AOB=AD×BO，
∵P₁O=BO，
∴S_△P1OA=S_△AOB，∠AOP₁=60°．
∴的長度為（cm）．           （10分）
作點A關于直徑BP₁的對稱點P₂，連接AP₂，OP₂，AP₃，

易得S_△P2OA=S_△AOB，∠AOP₂=120°．
∴的長度為（cm）．           （11分）
過點B作BP₃∥OA交⊙O于點P₃，
則P₂P₃直徑，
易得S_△P3OA=S_△AOB，
∴的長度==（cm）．        （12分）
點評：本題綜合考查了解直角三角形，及三角形的面積公式及弧長公式．