Question

某公司專銷產品A，第一批產品A上市40天內全部售完．該公司對第一批產品A上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調查，調查結果如圖所示，其中圖1中的折線表示的是市場日銷售量與上市時間的關系；圖2中的折線表示的是每件產品A的銷售利潤與上市時間的關系．
（1）試寫出第一批產品A的市場日銷售量y與上市時間t的關系式；
（2）第一批產品A上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：（1）此函數為分段函數，
當t≤30時，設一次函數為y=kt，將點（30，60）代入可將此函數關系式表示出來；
當30≤t≤40時，設一次函數為y=k₁t+b，將點（30，60），（40，0）代入進行求解，可將日銷售量y與上市時間t的關系式寫出；
（2）方法1，將0≤t≤20，20≤t≤30，30≤40的日銷售量與每件產品的日銷售利潤表示出來，求出求出產品的日銷售利潤，進行比較；方法2，從圖1和圖2中，可知當t=30時，日銷售量達到最大，每件產品的銷售利潤也達到最大，故t=30時，該公司的日銷售利潤最大．
解答：解：（1）由圖1可得，
當0≤t≤30時，設市場的日銷售量y=kt，
∵點（30，60）在圖象上，∴60=30k，
∴k=2，即y=2t；
當30≤t≤40時，設市場的日銷售量y=k₁t+b，
∵點（30，60）和（40，0）在圖象上，∴
解得k₁=-6，b=240．
∴y=-6t+240．
綜上可知，當0≤t≤30時，市場的日銷售量y=2t；
當30≤t≤40時，市場的日銷售量y=-6t+240．

（2）方法一：由圖2得：
當0≤t≤20時，每件產品的日銷售利潤為y=3t；
當20≤t≤40時，每件產品的日銷售利潤為y=60．
∴當0≤t≤20時，產品的日銷售利潤y=3t×2t=6t²；
∴當t=20時，產品的日銷售利潤y最大等于2400萬元．
當20≤t≤30時，產品的日銷售利潤y=60×2t=120t．
∴當t=30時，產品的日銷售利潤y最大等于3600萬元；
當30≤t≤40時，產品的日銷售利潤y=60×（-6t+240）；
∴當t=30時，產品的日銷售利潤y最大等于3600萬元．
綜上可知，當t=30天時，這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元．
方法二：由圖10知，當t=30（天）時，市場的日銷售量達到最大60萬件；又由圖11知，當t=30（天）時產品的日銷售利潤達到最大60元/件，所以當t=30（天）時，市場的日銷售利潤最大，最大值為3600萬元．
點評：在求該公司的日銷售利潤最大時，既可進行分類討論，也可結合圖形，將所求的時間t直接找出，然后在進行求解，使求解過程簡單化．