Question

（1）已知：如圖，AC∥DE，AC=DE，BE=CF，求證：∠B=∠F．
（2）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，∠DBC=∠A．
①求證：BC與⊙O相切；
②若OC是BD的垂直平分線，垂足為E，BD=6，CE=4，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定定理可判定△ABC≌△DFE，即可得出∠B=∠F．
（2）①要證BC與⊙O相切；只需證明OB⊥BC即可，根據角之間的互余關系易得證明；
②根據平行線的性質可得OC⊥BD，進而可得△OBE∽△BCE，可得出比例關系式，

OE

BE

=

BE

EC

代入數據即可得到答案．

解答：證明：（1）根據題意，AC∥DE，AC=DE，
即有∠ACB=∠DEF，又BE=CF，即BC=EF，
即△ABC≌△DFE，
故∠B=∠F．

（2）①證明：∵AB是直徑，
∴∠D=90°，AD⊥BD．
∴∠A+∠ABD=90°．
又∵∠DBC=∠A，
∴∠DBC+∠ABD=90°，
即∠ABC=90°．
∴OB⊥BC．
∵OB是半徑，
∴BC與⊙O相切．
②解：∵OC∥AD，∠D=90°，
∴∠OEB=∠D=90°．
∴OC⊥BD．（5分）
∴BE=DE=

1

2

BD=3．
∵BE⊥OC，∠OBC=90°，
∴△OBE∽△BCE．
∴

OE

BE

=

BE

EC

即

OE

3

=

3

4

，
∴OE=

9

4

．
∵OA=OB，DE=EB，
∴AD=2EO=

9

2

．

點評：本題考查先是考查了全等三角形的判定，又考查了切線的判定及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．