Question

已知直線y=-2x+b（b≠0）與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為y=x²-（b+10）x+c．
（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線y=-2x+b上，試確定這條拋物線的解析式；
（2）過點B作直線BC⊥AB交x軸于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y=-2x+b的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先表示出B、P的坐標，然后將B代入拋物線的解析式中，將P代入直線的解析式中，聯(lián)立兩式可求出b、c的值，即可確定拋物線的解析式；
（2）可根據(jù)直線AB的解析式表示出A、B的坐標，即可求出OA、OB的長，由于∠ABC=90°，在直角三角形ABC中，可用射影定理求出OC的長，然后聯(lián)立拋物線的對稱軸方程即可求出b的值．也就求出了直線AB的解析式．
解答：解：（1）直線y=-2x+b與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A坐標為（，0），點B坐標（0，b），
由題意知，拋物線頂點P坐標為（），
∵拋物線頂點P在直線y=-2x+b上，且過點B，
解得b₁=-10，c₁=-10，b₂=-6，c₂=-6，
∴拋物線解析式為y=x²-10或y=x²-4x-6；

（2）∵點A坐標（，0），點B坐標（0，b），
∴OA=||，OB=|b|，
又∵OA⊥OB，AB⊥BC，
∴△OAB∽△OBC
∴=
∴OB²=OA•OC，
即b²=OC•||，
∴OC=
∵拋物線y=x²-（b+10）x+c的對稱軸為x=且拋物線對稱軸過點C，
∴||=．
（i）當b≤-10時，-=-2b，
∴b=（舍去）
經(jīng)檢驗，b=不合題意，舍去．
（ii）當-10≤b＜0時，=-2b，
∴b=-2，
（iii）當b＞0時，=2b，
∴b=，
此時拋物線對稱軸直線為x=-=＞0，
BC與x軸的交點在x軸負半軸，
故不符合題意，舍去．
∴直線的解析式為y=-2x-2．
點評：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象交點等知識，要注意（2）中，在b的取值范圍不確定的情況下，要分類討論，以免漏解．