Question

如圖：Rt△ABC中，∠ACB=90°，過(guò)A、C兩點(diǎn)的圓O分別交AB、BC于D、E兩點(diǎn)，DO⊥AC于H，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，∠A=∠AFE，
（1）求證：EF為⊙O切線；
（2）若AB=，，求S_△BEF．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AE，由∠ACB=90°，利用90°圓周角所對(duì)的弦為直徑得到AE為直徑，再由OA=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由已知角相等等量代換得到∠OAD與∠AFE互余，即∠AEF為直角，可得出EF為圓O的切線；
（2）由AC與BC的比值，設(shè)出AC與BC，再利用勾股定理列出方程，求出AC與BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得到AH，DH的值，設(shè)圓半徑為R，在直角三角形OCH中，根據(jù)勾股定理求出R的長(zhǎng)，在直角三角形ADE中，由AE，AD的長(zhǎng)求出DE的長(zhǎng)，由三角形ADE與三角形DEF相似，由相似得比例，求出DF的長(zhǎng)，確定出BF的長(zhǎng)，由底BF的長(zhǎng)，高為DE，利用三角形的面積公式即可求出三角形BEF的面積．
解答：（1）證明：連接AE，
∵∠ACE=90°，
∴AE為直徑，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵∠AFE=∠CAD，
∴∠OAD+∠AFE=∠ODA+∠CAD=90°，
∴∠AEF=90°，
即EF為⊙O切線；                 

（2）解：連接ED、OC，
∵=，且AC²+BC²=（8）²，
∴AC=8，BC=16，
∴AH=4，DH=8，
設(shè)⊙O半徑為R，在Rt△OCH中，
根據(jù)勾股定理得：CH²+OH²=OC²，即4²+（8-R）²=R²，
∴R=5，
∴AE=2R=10，
在Rt△ADE中，AD=4，
根據(jù)勾股定理得：DE==2，
∵Rt△ADE∽R(shí)t△EDF，
∴DE²=DA•DF，
∴DF=，BF=3，
則S_△BEF=BF•ED=×3×2=15，即S_△BEF=15．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．