Question

（2013•溫州模擬）如圖，在Rt△OAB中，∠B=Rt∠，OB=2AB．線段AB的垂直平分線交反比例函數y=

2

x

（x＞0）的圖象于點C，D為垂足，過C作CE⊥OB于點E．當四邊形CDBE為正方形時，正方形CDBE的面積為

10

7

．

Answer 1

分析：延長EC、DC，分別交x軸與P、F點，作CH⊥x軸于H點，設正方形CDBE的邊長為a，根據垂直平分線的性質得AB=2a，則OB=2AB=4a，且可得到DF為△OAB的中位線，所以FD=

1

2

OB=2a，則FC=2a-a=a，于是CP為△FDA的中位線，CP=

1

2

AD=

1

2

a，在Rt△CFP中，根據勾股定理計算出PF=

5

2

a，利用面積法計算出CH=

5

5

a，在Rt△CFH中，根據勾股定理計算HF=

2 5

5

a，OA=2

5

a，所以OF=

1

2

OA=

5

a，則可確定C點坐標為（

7 5

5

a，

5

5

a），然后把C點坐標代入反比例解析式得到a²．

解答：解：延長EC、DC，分別交x軸與P、F點，作CH⊥x軸于H點，如圖，
設正方形CDBE的邊長為a，
∵FD垂直平分AB，
∴AB=2a，
∵OB=2AB，
∴OB=4a，
∵DF為△OAB的中位線，
∴FD=

1

2

OB=2a，
∴FC=2a-a=a，
∴CP為△FDA的中位線，
∴CP=

1

2

AD=

1

2

a，
在Rt△CFP中，PF=

CF2+CP2

=

5

2

a，
∴

1

2

CH•PF=

1

2

CP•CF，即

1

2

CH•

5

2

a=

1

2

a•

1

2

a，
∴CH=

5

5

a，
在Rt△CFH中，HF=

CF2-CH2

=

2 5

5

a，
在Rt△OAB中，OA=

OB2+AB2

=2

5

a，
∴OF=

1

2

OA=

5

a，
∴OH=OF+FH=

7 5

5

a，
∴C點坐標為（

7 5

5

a，

5

5

a），
把C（

7 5

5

a，

5

5

a）代入y=

2

x

得

7 5

5

a•

5

5

a=2，解得a²=

10

7

．
∴正方形CDBE的面積為

10

7

．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征和正方形的性質；熟練運用勾股定理進行幾何計算．