Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=30°，AB是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線，交AB延長線于D，CD=3cm。

（1）求⊙O的直徑。
（2）若動點M以3cm/s的速度從點A出發沿AB方向運動。同時點N以1.5cm/s的速度從B點出發沿BC方向運動。設運動的時間為t（0≤t≤2），連結MN，當t為何值時△BMN為Rt△？并求此時該三角形的面積？

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， 又∠A=30°， ∴∠ABC=60°， 連接OC，因CD切⊙O于C，則∠OCD=90°， 在△OBC中，∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴∠OCB=60°， ∴∠BCD=30°， 又∠OBC=∠BCD+∠D， ∴∠D=30°， ∴AC=CD=3， 在Rt△ABC中，cosA=， ∴AB==6（cm）；
（2）△BMN中， ①當∠BNM=90°時，cos∠MBC=，即cos60°=， ∴t=1， 此時BM=3，BN=1.5，MN=， ∴S△BMN=BN·MN=（cm2）； ②當∠NMB=90°時，cos∠MBC=，即cos60°=， ∴t=1.6， 此時BM=BN=MN=， ∴S△BMN=BM·MN=×（cm2）。