Question

【題目】如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3 ， 現有如下結論：
①S1：S2=AC2：BC2；
②連接AE，BD，則△BCD≌△ECA；
③若AC⊥BC，則S1S2= S32 ．
其中結論正確的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】①S1：S2=AC2：BC2正確，
解：∵△ADC與△BCE是等邊三角形，
∴△ADC∽△BCE，
∴S1：S2=AC2：BC2 ．
②△BCD≌△ECA正確，
證明：∵△ADC與△BCE是等邊三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，
即∠ACE=∠DCB，
在△ACE與△DCB中，
，
∴△BCD≌△ECA（SAS）．
③若AC⊥BC，則S1S2= S32正確，
解：設等邊三角形ADC的邊長=a，等邊三角形BCE邊長=b，則△ADC的高= a，△BCE的高= b，
∴S1= a a= a2 ， S2= b b= b2 ，
∴S1S2= a2 b2= a2b2 ，
∵S3= ab，
∴S32= a2b2 ，
∴S1S2= S32 ．
【考點精析】關于本題考查的等邊三角形的性質，需要了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能得出正確答案．