Question

如圖，一把“T型”尺（圖1），其中MN⊥OP，將這把“T型”尺放置于矩形ABCD中（其中AB=4，AD=5），使邊OP始終經過點A，且保持OA=AB，“T型”尺在繞點A轉動的過程中，直線MN交邊BC、CD于E、F兩點（圖2）．
（1）試問線段BE與OE的長度關系如何？并說明理由；
（2）當△CEF是等腰直角三角形時，求線段BE的長；
（3）當BE=1，求線段DF的長．

Answer 1

分析：（1）連接AE，求出∠B=∠AOE=90°，根據HL證△ABE≌△AOE，即可得出答案；
（2）延長AO交BC于點T，得出△OET與△ABT均為等腰直角三角形，由勾股定理求出AT，即可得出答案；
（3）在BC上取點H，使BH=BA=4，過點H作AB的平行線，交EF、AD于點K、L，設HK=a，則在△HEK中，EH=4-1=3，EK=EO+OK=BE+KL=1+4-a=5-a，根據3²+a²=（5-a）²，求出a，即可求出CF，即可得出答案．

解答：解：（1）線段BE與OE的長度相等． 
理由是：連接AE，
∵四邊形ABCD是矩形，AO⊥EF，
∴∠B=∠AOE=90°，
在△ABE與△AOE中

AB=AO AE=AE

∴△ABE≌△AOE（HL），
∴BE=OE． 

（2）延長AO交BC于點T，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠C=90°，∠CFE=∠CEF=45°，
∵∠B=∠AOE=90°=∠EOT，
∴∠ETO=180°-90°-45°=45°，
∴∠BAT=45°=∠BTA，
∴BT=AB=4，EO=OT，
即△OET與△ABT均為等腰直角三角形，
∵在△ABT中，AB=4，則AT=4

2

，
∴BE=OE=OT=AT-AO=AT-AB=4

2

-4．

（3）在BC上取點H，使BH=BA=4，過點H作AB的平行線，交EF、AD于點K、L，
即四邊形ABHL為正方形，
由（1）可知KL=KO，
令HK=a，則在△HEK中，EH=4-1=3，EK=EO+OK=BE+KL=1+4-a=5-a，
∴3²+a²=（5-a）²，
化簡得：a=

8

5

．                      
又∵HL∥AB，
∴

CF

a

=

EC

EH

=

4

3

，
即CF=

32

15

，
∴DF=4-CF=

28

15

．

點評：本題考查了等腰直角三角形性質和判定，勾股定理，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用性質進行推理和計算的能力，有一定的難度．