Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=4，OC=2．點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，點D隨點P的運動而運動，連接DP、DA．
（1）請用含t的代數式表示出點D的坐標；
（2）求t為何值時，△DPA的面積最大，最大為多少？
（3）在點P從O向A運動的過程中，△DPA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；
（4）請直接寫出隨著點P的運動，點D運動路線的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出P點坐標，再求出CP的中點坐標，根據相似的性質即可求出D點坐標；
（2）根據D點的坐標及三角形的面積公式直接求解即可；
（3）先判斷出可能為直角的角，再根據勾股定理求解；
（4）根據點D的運動路線與OB平行且相等解答即可．
解答：解：（1）∵點P從點O出發，沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
設CP的中點為F，
則F點的坐標為（，1），
∴將線段CP的中點F繞點P按順時針方向旋轉90°得點D，其坐標為（t+1，）；

（2）∵D點坐標為（t+1，），OA=4，
∴S_△DPA=AP×=（4-t）×=（4t-t²）=-（t-2）²+1，
∴當t=2時，S_最大=1；

（3）能夠成直角三角形．
①當∠PDA=90°時，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（）²+1+（4-t-1）²+（）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②當∠PAD=90°時，此時點D在AB上，

可知，△COP∽△PAD，
∴=，
∴=，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
綜上，可知當t為2秒或3秒時，△DPA能成為直角三角形．

（4）∵根據點D的運動路線與OB平行且相等，OB=2，
∴點D運動路線的長為2．
點評：此題比較復雜，是動點問題在實際生活中的運用，結合了二次函數、直角三角形的相關性質，具有一定的綜合性．