Question

如圖，Rt△AOB中，∠A=90°，以O為坐標原點建立直角坐標系，使點A在x軸正半軸上，OA=2，AB=8，點C為AB邊的中點，拋物線的頂點是原點O，且經過C點．
（1）填空：直線OC的解析式為______；拋物線的解析式為______；
（2）現將該拋物線沿著線段OC移動，使其頂點M始終在線段OC上（包括端點O、C），拋物線與y軸的交點為D，與AB邊的交點為E；
①是否存在這樣的點D，使四邊形BDOC為平行四邊形？如存在，求出此時拋物線的解析式；如不存在，說明理由；
②設△BOE的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵OA=2，AB=8，點C為AB邊的中點
∴點C的坐標為（2，4）點，
設直線的解析式為y=kx
則4=2k，解得k=2
∴直線的解析式為y=2x，
設拋物線的解析式為y=kx²
則4=4k，解得k=1
∴拋物線的解析式為y=x²

（2）設移動后拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m
當OD=BC，四邊形BDOC為平行四邊形，
∴OD=BC=4，
①則可得x=0時y=4，
∴m²+2m=4，
∴（m+1）²=5
解得，（舍去），
所以
y=+2×（-1+）
=-2+2，
②∵BE=8-[（2-m）²+2m]
=4+2m-m²
∴S_△BOE=BE•OA
=（4+2m-m²）×2
=-m²+2m+4
=-（m-1）²+5，
而0≤m≤2，
所以4≤S≤5．
分析：（1）本題須先求出點C的坐標然后即可求出直線OC的解析式和拋物線的解析式．
（2）①本題首先需根據拋物線的移動規律設出拋物線的解析式，再根據平行四邊形的性質即可得出m的值．
②本題需先求出△BOE的面積S與m的關系，再根據m的取值范圍即可求出S的取值范圍．
點評：本題主要考查了二次函數綜合應用，在解題時要注意結合題意求出拋物線的解析式并能列出方程是本題的關鍵．