Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，經過A、B、C三點的圓的圓心M（1，m）恰好在此拋物線的對稱軸上，⊙M的半徑為．設⊙M與y軸交于D，拋物線的頂點為E．
（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）設∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值；
（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，請指出點P的位置，并直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知C（0，-3），-=1，
∴拋物線的解析式為y=ax²-2ax-3（a＞0），
過M作MN⊥y軸于N，連接CM，則MN=1，CM=，
∴CN=2，于是m=-1．
同理可求得B（3，0），
∴a×3²-2a×3-3=0，得a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．

（2）由（1）得A（-1，0），E（1，-4），B（3，0），C（0，-3）．
∵M到AB，CD的距離相等，OB=OC，
∴OA=OD，
∴點D的坐標為（0，1），
∴在Rt△BCO中，BC==3，
∴，
在△BCE中，∵BC²+CE²=（3²+3²）+[（1-0）²+（-4+3）²]=20=（3-1）²+（0+4）²=BE²
∴△BCE是Rt△
，
∴，
即，
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，
因此sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC=．

（3）顯然Rt△COA∽Rt△BCE，此時點P₁（0，0）．
過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，
由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得P₂（0，）．
過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0）．
故在坐標軸上存在三個點P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），
使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．
分析：（1）根據題意與圖象可得點C的坐標，根據圓的性質可得點B的坐標，根據對稱軸方程與點B的坐標即可求得函數的解析式；
（2）由拋物線的解析式可求得點A，E，B，C，D的坐標，判斷Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β，因此sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC=；
（3）顯然Rt△COA∽Rt△BCE，此時點P₁（0，0），
過A作AP₂⊥AC交y正半軸于P₂，由Rt△CAP₂∽Rt△BCE，得P₂（0，），
過C作CP₃⊥AC交x正半軸于P₃，由Rt△P₃CA∽Rt△BCE，得P₃（9，0），
故在坐標軸上存在三個點P₁（0，0），P₂（0，），P₃（9，0），使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCE相似．
點評：此題考查了二次函數與圓的知識的綜合應用，要注意分析圖形，應用相似三角形的性質與判定，要注意數形結合思想的應用．