Question

已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，⊙O過D、B、C三點，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）如果∠ACB=75°，⊙O的半徑為4，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切線的判定定理求出∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°，即可得出答案；
（2）利用圓周角定理得出△BDO為等邊三角形，即可得出答案．
解答：（1）證明：∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴三角形OCD為等腰直角三角形，∠OCD=45°
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直線AC是⊙O的切線．

（2）解：連接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，
∴∠DOB=60°，
∵DO=BO，
∴△BDO為等邊三角形，
∴BD=OB=4．
點評：此題主要考查了切線的判定以及圓周角定理和等邊三角形的判定，根據已知得出∠DOB=60°是解題關鍵．