Question

如圖，在矩形ABCD中，AB =6，AD =11．直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A,D不重合），一直角邊始終經過點C，另一直角邊與AB交于點E．

（1）△CDP與△PAE相似嗎？如果相似，請寫出證明過程；

   （2）當∠PCD =30°時，求AE的長；

（3）是否存在這樣的點P，使△CDP的周長等于△PAE周長的2倍？若存在，求DP的長；若不存在，請說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

 

1）△CDP∽△PAE.                 ………………………………（1分）

證明：∵ 四邊形ABCD是矩形，

∴ ∠D=∠A=90°，CD=AB=6.      ……………………（2分）

∴ ∠PCD+∠DPC=90°            

               又∵ ∠CPE=90°,

                 ∴ ∠EPA+∠DPC=90°,           ……………………（3分）

                 ∴ ∠PCD=∠EPA.              

                 ∴ △CDP∽△PAE.              ………………………（4分）

（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD =.      ……………………（5分）

              ∴ PD=CD•tan∠PCD=6•tan30°=6×=2.  …………（6分）

              ∴ AP=AD-PD=11-2.      ………………………………（7分）

              解法1：由△CDP∽△PAE知，

              ∴ AE=     …………（8分）

              解法2：由△CDP∽△PAE知∠EPA=∠PCD =30°，

∴ AE=AP•tan∠EAP=(11-2)•tan30°=.  ……（8分）

（3）假設存在滿足條件的點P，設DP=x，則AP=11-x

由△CDP∽△PAE知，                 ……………（9分）

∴ ，解得x=8，此時AP=3，AE=4．   ……………（10分）

 解析:略