Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數y=（x＞0）圖象上的任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B．
（1）求△AOB的面積；
（2）Q是反比例函數y=（x＞0）圖象上異于點P的另一點，請以Q為圓心，QO 半徑畫圓與x、y軸分別交于點M、N，連接AN、MB．猜想AN與MB的位置關系，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出點P在線段AB上，進而得出S_△AOB=OA×OB=×2 PP₁×2PP₂，即可得出S_△AOB=2 PP₁×PP₂；
（2）首先求出△AON∽△MOB，再利用平行線的判定定理，得出即可．
解答：解：（1）點P在線段AB上．理由如下：
∵點O在⊙P上，且∠AOB=90°，
∴AB是⊙P的直徑
∴點P在線段AB上．…（2分）
過點P作PP₁⊥x軸，PP₂⊥y軸，
由題意可知PP₁、PP₂是△AOB的中位線，
∴S_△AOB=OA×OB=×2 PP₁×2PP₂=2 PP₁×PP₂
又∵P是反比例函數y=（x＞0）圖象上的任意一 點，
∴PP₁×PP₂=xy=12
∴S_△AOB=2 PP₁×PP₂=24．…（4分）

（2）猜想：AN∥MB…（1分）
如圖，連接MN，則MN過點Q，且S_△MON=S_△AOB=24．
∴OA•OB=OM•ON．
∴．
又∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB…（3分）
點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及圓的相關性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式，平行線的判定等知識，此題不失為豐富靈活的一道好題，難易程度--中．