Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，，是的中點，，垂足為點，，，，，點是邊上一動點，設的長為.

（1）當的值為________或________時，以點，，，為頂點的四邊形為平行四邊形.

（2）點在邊上運動的過程中，以，，，為頂點的四邊形能否構成菱形？試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）1或11；（2）能，見解析.

【解析】

(1)若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，有兩種情況：①當P在E的左邊，利用已知條件可以求出BP的長度；②當P在E的右邊，利用已知條件也可求出BP的長度；

(2)以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．由(1)知，當BP=11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據已知條件先分別計算一組鄰邊且它們相等即可證明它是菱形．

解：(1)若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，那么AD=PE，
有兩種情況：①當P在E的左邊，
∵E是BC的中點，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②當P在E的右邊，
BP=BE+PE=6+5=11；
故當x的值為1或11時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；

（2）由（1）知，時四邊形是平行四邊形，但，不是菱形.

由（1）知，時四邊形是平行四邊形，且，

∵，.

在中，.

∴，平行四邊形是菱形.