Question

（2010•蘭州）如圖，P₁是反比例函數y=（k＞0）在第一象限圖象上的一點，點A₁的坐標為（2，0）．
（1）當點P₁的橫坐標逐漸增大時，△P₁OA₁的面積將如何變化？
（2）若△P₁OA₁與△P₂A₁A₂均為等邊三角形，求此反比例函數的解析式及A₂點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P₁（a，b），根據反比例函數的圖象性質，可知y隨x的增大而減小．又△P₁OA₁的面積=×0A₁×b=b．故當點P₁的橫坐標逐漸增大時，△P₁OA₁的面積將逐漸減小．
（2）由于△P₁OA₁為等邊三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足為C，由等邊三角形的性質及勾股定理可求出點P₁的坐標，根據點P₁是反比例函數y=圖象上的一點，利用待定系數法求出此反比例函數的解析式；作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．設A₁D=a，由于△P₂A₁A₂為等邊三角形，由等邊三角形的性質及勾股定理，可用含a的代數式分別表示點P₂的橫、縱坐標，再代入反比例函數的解析式中，求出a的值，進而得出A₂點的坐標．
解答：解：（1）過P₁作P₁C⊥OA₁，垂足為C，
設P₁（a，b），
∵P₁在第一象限，
∴△P₁OA₁的面積=×0A₁×b=b．
又∵當k＞0時，在每一個象限內，y隨x的增大而減小．
故當點P₁的橫坐標逐漸增大時，△P₁OA₁的面積將逐漸減小．

（2）因為△P₁OA₁為邊長是2的等邊三角形，
所以OC=1，P₁C=2×=，
所以P₁（1，）．
代入y=，得k=，
所以反比例函數的解析式為y=．
作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．
設A₁D=a，
則OD=2+a，P₂D=a，
所以P₂（2+a，a）．
∵P₂（2+a，a）在反比例函數的圖象上，
∴代入y=，得（2+a）•a=，
化簡得a²+2a-1=0
解得：a=-1±．
∵a＞0，
∴a=-1+．∴A₁A₂=-2+2，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=2，
所以點A₂的坐標為（2，0）．
點評：此題綜合考查了反比例函數的性質，利用待定系數法求函數的解析式，正三角形的性質等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．