Question

如圖已知：直線y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C（1，0）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D的坐標為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先確定A、B、C三點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；
（2）△ABO為等腰直角三角形，若△ADP與之相似，則有兩種情形，如答圖1所示．利用相似三角形的性質分別求解，避免遺漏；
（3）如答圖2所示，分別計算△ADE的面積與四邊形APCE的面積，得到面積的表達式．利用面積的相等關系得到一元二次方程，將點E是否存在的問題轉化為一元二次方程是否有實數根的問題，從而解決問題．需要注意根據（2）中P點的不同位置分別進行計算，在這兩種情況下，一元二次方程的判別式均小于0，即所求的E點均不存在．
解答：解：（1）由題意得，A（3，0），B（0，3）
∵拋物線經過A、B、C三點，
∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入y=ax²+bx+c，
得方程組…3分
解得：
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3             …5分

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形，如答圖1所示，
若△ABO∽△AP₁D，則
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）…7分
若△ABO∽△ADP₂ ，過點P₂作P₂ M⊥x軸于M，AD=4，
∵△ABO為等腰三角形，
∴△ADP₂是等腰三角形，
由三線合一可得：DM=AM=2=P₂M，即點M與點C重合，
∴P₂（1，2）…10分
綜上所述，點P的坐標為P₁（-1，4），P₂（1，2）；

（3）不存在．
理由：如答圖2，設點E（x，y），則
S_△ADE=
①當P₁（-1，4）時，
S_{四邊形AP1CE}=S_△ACP1+S_△ACE==4+|y|…11分
∴2|y|=4+|y|，
∴|y|=4
∵點E在x軸下方，
∴y=-4，代入得：x²-4x+3=-4，即x²-4x+7=0，
∵△=（-4）²-4×7=-12＜0
∴此方程無解…12分
②當P₂（1，2）時，
S_{四邊形AP2CE}=S_△ACP2+S_△ACE==2+|y|，
∴2|y|=2+|y|，
∴|y|=2
∵點E在x軸下方，
∴y=-2，代入得：x²-4x+3=-2，即x²-4x+5=0，
∵△=（-4）²-4×5=-4＜0
∴此方程無解
綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E．…14分
點評：本題重點考查了拋物線的相關性質、相似三角形的性質、圖形面積的計算以及一元二次方程根的判別式，涉及的知識點較多．注意在（2）（3）問中，均有兩種情形，需要分類討論計算，避免漏解；（3）問中是否存在點E的問題，轉化為一元二次方程實數根個數的問題，需要注意這種解題方法．作為中考壓軸題，本題綜合性強，難度較大，有利于提高學生的綜合解題能力，是一道不錯的題目．