Question

已知拋物線y=ax²+bx+3與y=-x²+3x+2交于A、B兩點，若A、B關于原點對稱，則ab的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設兩交點坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），因為拋物線的交點和關于原點對稱，則x₁+x₂=0，y₁+y₂=0，構造方程組即可得到（a+1）x²+（b-3）x+1=0，由x₁+x₂=0，求出b的值，再求出a的值，代入ab即可求出答案．
解答：解：由題可得：ax²+bx+3=-x²+3x+2，
（a+1）x²+（b-3）x+1=0．
∵兩交點關于原點對稱，那么兩個橫坐標的值互為相反數；兩個縱坐標的值也互為相反數．
則兩根之和為：-=0，兩根之積為＜0（關于原點對稱的點的橫坐標、縱坐標分別互為相反數），
解得：b=3，a＜-1．
設兩個交點坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
這兩個根都適合第二個函數解析式，
代入第二個函數解析式得：y₁=-x₁²+3x₁+2，y₂=-x₂²+3x₂+2
那么y₁+y₂=-（x₁²+x₂²）+3 （x₁+x₂）+4=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+4=0，
解得x₁x₂=-2，
代入兩根之積得=-2，
解得a=-，
故a=-，b=3．
∴ab=3×（-）=-．
故答案為：-．
點評：此題主要考查了二次函數的性質，本題用到的知識點為：兩個函數有交點，那么應讓這兩個函數圖象組成方程組，而后根據根與系數的關系求解．