Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長線上的一點，AE⊥CD交DC的延長線于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=6，BD=3，求BC和AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出AC平分∠EAF，推出OC∥AE，推出OC⊥DE，根據切線判定推出即可；
（2）根據直角三角形斜邊上中線性質求出BC=OB=3，根據三角形面積公式求出CF，得出CE，根據勾股定理求出AE即可．
解答：（1）解：
DE與⊙O的位置關系式相切．
理由是：連接OC，
∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，
∴∠EAC=∠CAF，
∵OA=OC，
∴∠CAF=∠OCA，
∴∠OCA=∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC為⊙O半徑，
∴DE是⊙O的切線，
即DE與⊙O的位置關系式相切．

（2）解：
∵OC⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∵AB=6，BD=3，
∴OB=3=BD，
即B為OD中點，
∴CB=OB=BD=3，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在△ACB中，AB=6，BC=3，由勾股定理得：AC=3，
在△ACB中，由三角形的面積公式得：×AC×BC=×AB×CF，
∴×3×3=×6×CF，
CF=，
∵CE=CF，
∴CE=，
在Rt△AEC中，AC=3，CE=，由勾股定理得：AE=，
即AE=，BC=3．
點評：本題考查了切線的性質和判定，三角形的面積，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質和判定，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質，含30度角的直角三角形性質等知識點的綜合運用．